תהי העתקה לינארית מעל שדה . הוכיחו שאם מתקיים אז .
⚠️ קודם כול — מי ההנחה ומי המסקנה
בדף המקורי שני הביטויים המתמטיים יושבים משני צדי המילה 'אז', והכיווניות של הדף מטעה. הקריאה הנכונה: ההנחה היא והמסקנה היא . (במקרה גם הכיוון ההפוך נכון, אבל ההוכחה שלו שונה — שם מפעילים על השוויון הנתון.)
📖 תוכנית פתרון
שתי הדרכים נשענות על אותה עובדה יסודית — שרשרת התמונות יורדת — אבל מנסחות אותה אחרת. דרך 1 עובדת עם הכלות בין קבוצות ו'סוגרת סנדוויץ''. דרך 2 מסתכלת על כמרחב אינוריאנטי ומראה שהצמצום הוא על. שימו לב: אין כאן הנחת ממד סופי, ולכן אסור להשתמש בשיקולי ממד.
דרך 1 — סנדוויץ' של שרשרת ההכלות
שלב 1 — ההכלה הכללית. לכל :
כלומר .
שלב 2 — השרשרת עבור .
שלב 3 — הצבת הנתון בקצה השמאלי. לפי הנתון , ולכן
מסקנה. קבוצה המוכלת בעצמה דרך חוליה אמצעית מכריחה שוויון בכל החוליות, ולכן .
דרך 2 — הצמצום של לתמונה שלה הוא על
שלב 1 — סימון ותרגום. נסמן . מהגדרת התמונה, לכל :
שלב 2 — אינוריאנטי תחת .; הפעלת על ההכלה הזו נותנת .
שלב 3 — הכנסת הנתון. הנתון הוא , ולכן
מסקנה. — כלומר הצמצום הוא על — וזה בדיוק .
💡 מה מבדיל בין הדרכים
דרך 1 מטפלת באיברים ובהכלות בלבד. דרך 2 מנסחת את אותה עובדה כתכונה של העתקה אחת — 'הצמצום לתמונה הוא על' — ומכאן היא מתגלגלת מיד ל- לכל .
תשובה
ב
ו- גוררים (12 נק')
תהיינה מטריצות המקיימות וגם . הוכיחו .
📜 שני הכלים
מחזוריות העקבה:, ולכן .
עקבת קומוטטור: מכאן מיד לכל .
⚠️ סדר הכפל הוא כל הסיפור
המטריצות אינן מתחלפות. הנתון שקול ל- — כלומר מותר להעביר את משמאל ל- לימין ל- תמורת סימן. הצבה בסדר הפוך תיתן זוג איברים שלא מתבטלים.
דרך 1 — פירוק ומחזוריות העקבה
שלב 1 — הצבת הנתון הראשון בגורם הימני.
שלב 2 — הצבת הנתון השני. מ- נובע , ולכן
שלב 3 — מחזוריות., ולכן .
מסקנה. נחבר את שני האיברים:
דרך 2 — היא קומוטטור
שלב 1 — אותו פירוק, עם החלפה מיידית. כמו קודם , ועם :
שלב 2 — זיהוי המבנה. זהו בדיוק הקומוטטור
שלב 3 — עקבת קומוטטור מתאפסת. לכל מתקיים , ולכן .
מסקנה. בהצבת , :
בונוס — עוד עובדה שנופלת מהנתון
לקיחת עקבה ישירות מ- נותנת , וממחזוריות , כלומר . זה נכון אך אינו מספיק לבדו — צריך את הנתון הראשון כדי להגיע ל-.
תשובה
עוד 4 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.