יהיו תתי-מרחבים לינאריים של אותו מרחב לינארי. נתון שמתקיים . הוכיחו או הפריכו את הטענה הבאה: אם הסכום אינו סכום ישר אז או .
📖 תוכנית פתרון
השאלה מזמינה במפורש גם הפרכה, וזה הרמז. קודם כול מפענחים מה הנתון באמת אומר, ואז מחפשים שממלאת אותו בלי להיחתך עם אף אחד מהשניים. דרך 1 בונה דוגמה נגדית ב- ומפריכה 'סכום ישר' בהצגה מפורשת של . דרך 2 בונה דוגמה נגדית אחרת, במרחב פולינומים, ומפריכה בקריטריון הממדים.
💡 פענוח הנתון
אומר שני דברים: (1) הסכום ישר, כלומר ; (2) , ומכיוון ש- זה שקול ל-. זה כל הנתון — ובפרט הוא אינו אוסר על להיות 'אלכסון' בתוך .
דרך 1 — דוגמה נגדית ב- עם הצגה מפורשת של
שלב 1 — בחירת שלושת התת-מרחבים. במרחב ניקח שלושה ישרים דרך הראשית:
שלב 2 — הנתון מתקיים. (שני ישרים שונים), ולכן סכום ישר ו-. מכיוון ש- מתקיים גם
שלב 3 — הסכום המשולש אינו ישר. נציג את בצורה לא טריוויאלית:
שלושת המחוברים שונים מאפס, ולכן ההצגה של אינה יחידה והסכום אינו ישר.
שלב 4 — שני החיתוכים טריוויאליים.: וקטור בו הוא גם וגם , ולכן ו-. באותו אופן .
מסקנה. כל הנתונים מתקיימים, הסכום המשולש אינו ישר, ובכל זאת שני החיתוכים טריוויאליים — הטענה מופרכת.
דרך 2 — דוגמה נגדית אחרת, והפרכה בקריטריון הממדים
שלב 1 — עוברים למרחב פולינומים. ב- (פולינומים מדרגה קטנה מ-) ניקח
שלב 2 — הנתון. ולכן . מכיוון ש- מתקיים , ולכן .
שלב 3 — קריטריון הממדים לסכום ישר. סכום סופי הוא ישר אם ורק אם ממד הסכום שווה לסכום הממדים:
כאן בעוד , ולכן הסכום אינו ישר — בלי לחפש כלל הצגה לא טריוויאלית של .
שלב 4 — החיתוכים. אינו כפולה סקלרית של ולכן ; באותו אופן אינו כפולה של ולכן .
מסקנה. שוב התקבלה דוגמה נגדית, והפעם ההפרכה נעשתה בשיקול ממדים טהור. הטענה שגויה.
⚠️ מה מפתה להוכיח, ולמה זה נכשל
התחושה 'אם הסכום לא ישר אז מישהו נחתך עם מישהו' נכונה בגרסה חלשה בהרבה: היא נותנת רק שקיים עם . כאן זה אכן קורה — — אבל זה לא אומר ש- נחתכת עם או עם בנפרד. בדיוק הפער הזה הוא הדוגמה הנגדית.
תשובה
הטענה שגויה:
ב
הפיכה ו- גוררים ש- הפיכה (12 נק')
נתונות המטריצות מסדר , מטריצה מסדר ו- ריבועית מסדר . נתון שהמטריצה הפיכה וש-. הוכיחו שהמטריצה הפיכה.
⚠️ קודם כול — האם המכפלה מוגדרת, והאם היא ריבועית?
מסדר , מסדר , מסדר . לכן מסדר ו- מסדר — ריבועית, ורק לכן 'הפיכה' היא בכלל מושג. בלי הבדיקה הזו כל השאלה חסרת משמעות.
📜 שני משפטים שמניעים את כל הפתרון
(1) דרגת מכפלה: לכל מכפלה מוגדרת .
(2) דרגה מלאה: מטריצה ריבועית מסדר הפיכה אם ורק אם דרגתה .
📖 תוכנית פתרון
דרך 1 לוכדת את בין שני חסמים ומראה שהנתון סוגר אותם לשוויון. דרך 2 לא מזכירה דרגות של מכפלות אלא מוכיחה ש- חח"ע ו- על, מסיקה , ואז כותבת את במפורש כמכפלת מטריצות הפיכות.
דרך 1 — לכידת בין שני חסמים
שלב 1 — הדרגה של . המטריצה ריבועית מסדר והפיכה, ולכן דרגתה מלאה:
שלב 2 — חסם תחתון על . נפעיל את חסם דרגת המכפלה פעמיים, על ואז על :
שלב 3 — חסם עליון על . מסדר ולכן
שלב 4 — סגירת הלולאה בעזרת הנתון. יחד עם הנתון :
כל אי-השוויונות בשרשרת סגורה הם למעשה שוויונות, ולכן (וכבונוס גם ).
מסקנה. ריבועית מסדר עם דרגה — דרגה מלאה — ולכן היא הפיכה.
דרך 2 — חד-חד-ערכיות, על, ופירוק למכפלת הפיכות
שלב 1 — חד-חד-ערכית. יהי עם . אז , ומכיוון ש- הפיכה היא חח"ע, ולכן . מכאן שעמודות בת"ל:
שלב 2 — מסיקים . מסדר , ולכן , כלומר . יחד עם הנתון מתקבל
בפרט , ו- כולן ריבועיות מסדר .
שלב 3 — הפיכה. מטריצה ריבועית שהעתקתה חח"ע היא הפיכה, ולכן הפיכה.
שלב 4 — הפיכה. לכל מתקיים , ולכן . הפיכה ולכן על, כלומר , ומכאן — ריבועית ועל, ולכן הפיכה.
שלב 5 — בידוד . נסמן (הפיכה לפי הנתון). מ- ומהפיכות ו-:
מסקנה. מכפלה של שלוש מטריצות הפיכות, ולכן היא הפיכה, ואף מתקבלת נוסחה מפורשת .
הערה — למה בכלל צריך את
אילו הנתון היה ההפך, , הטענה הייתה שקרית: ניקח , , , ו-. אז הפיכה, בעוד . שימו לב ש- נובע ממילא מהנתונים (שלב 2 של דרך 1), ולכן הוא לא היה מוסיף שום מידע.
תשובה
עוד 4 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.