קוד מועד 93. בבחינה חמש שאלות וכל סטודנט עונה על ארבע; משקל כל שאלה 25 נקודות. פתרון מלא לכל חמש השאלות, ובכל סעיף שתי דרכי פתרון אמיתיות — דטרמיננטות ודרגה, שרשרת גרעינים, פרישה של המטריצות ההפיכות, ומטריצה מייצגת בבסיס תלוי-פרמטר.
דטרמיננטה ודרגה של מטריצה תלוית-פרמטר, ושרשרת הגרעינים של
א.1
הבעת בעזרת (15 נק' לשני סעיפי א)
תהי המטריצה הבאה: , כאשר . הביעו בעזרת את .
💡 הסימון שחוסך חצי מהעבודה
נסמן . אז הכניסה היא בדיוק , והמטריצה נראית הרבה יותר נעימה:
בלי הסימון הזה מקבלים פולינום ממעלה 5 ב- שקשה לפרק, וסעיף א.2 (הדרגה) הופך כמעט בלתי אפשרי.
דרך 1 — פיתוח לפי השורה הראשונה
שלב 1 — שלושת המינורים. עם :
שלב 2 — הרכבת הפיתוח. לפי כלל הסימנים בשורה הראשונה:
שלב 3 — פירוק הגורם . מהפרש ריבועים:
מסקנה. מציבים חזרה:
דרך 2 — הוצאת גורם משורה ואז פעולות שורה
שלב 1 — השורה השנייה היא כפולה., ולכן לפי תכונת הליניאריות בשורה:
שלב 2 — חיסור השורה השנייה מהשאר. ו- אינן משנות דטרמיננטה:
שלב 3 — פיתוח לפי העמודה הראשונה. האיבר היחיד שאינו אפס בעמודה הוא במקום , וסימנו :
מסקנה. מכפילים חזרה ב- משלב 1:
בדיקת שפיות מספרית
עבור : הנוסחה נותנת . חישוב ישיר של נותן גם הוא . תמיד כדאי לבדוק ערך אחד לפני שממשיכים לסעיף הדרגה.
תשובה
א.2
הדרגה של עבור כל ערך של
קבעו עבור כל ערך של את הדרגה של המטריצה .
⚠️ המלכודת המרכזית של הסעיף
לדטרמיננטה שלושה שורשים: , ו-. אסור להסיק מהם דרגה אחידה. שלושת המקרים נותנים שתי תשובות שונות: נותן דרגה 2, ואילו ו- נותנים דרגה 1. חייבים להציב ולבדוק כל מקרה בנפרד.
דרך 1 — מהדטרמיננטה, ואז בדיקה נקודתית
שלב 1 — המקרה הכללי. לפי הסעיף הקודם , ולכן בדיוק עבור . במקרה זה הפיכה ו-.
שלב 2 — המקרה . מציבים ():
כל השורות כפולות של , ולכן .
שלב 3 — המקרה . מציבים ():
שוב שורה אחת בת"ל בלבד, ולכן .
שלב 4 — המקרה . מציבים ():
יש בדיוק שתי שורות בת"ל, ולכן .
מסקנה. שלוש התשובות מסתדרות לטבלה אחת:
דרך 2 — דירוג סימבולי של המטריצה
שלב 1 — איפוס העמודה הראשונה. עם , הפעולות ו- נותנות:
שלב 2 — מתי השורה השנייה מתאפסת. — בדיוק שלושת שורשי הדטרמיננטה, כצפוי.
שלב 3 — המקרה הרגיל. אם אז ; לאחר נשארת השורה עם . שלוש מדרגות:
שלב 4 — שלושת החריגים, ישירות מהצורה המדורגת. מציבים בשורות , , :
(): , , — דרגה .
(): , , — דרגה .
(): , , — דרגה .
מסקנה. אותה תשובה בדיוק כמו בדרך 1, והפעם היא נקראת ישירות מהצורה המדורגת בלי לחשב דטרמיננטה כלל.
💡 למה שונה משני האחרים
השורה השלישית המדורגת היא . הכניסה האחרונה מתאפסת רק כאשר או (כלומר ). עבור מתקיים , ולכן נשארת מדרגה שנייה — וזה בדיוק מקור ההבדל בין דרגה 2 לדרגה 1.
תשובה
או
ב
הוכחה או הפרכה: (10 נק')
תהי העתקה לינארית מעל . הוכיחו או הפריכו את הטענה הבאה: אם מתקיים אז .
📜 העובדה שממנה הכול נובע
לכל העתקה לינארית ולכל מתקיים .
נימוק: אם אז .
כלומר הגרעינים יוצרים שרשרת עולה — בלי שום הנחה על , על ממדו או על השדה.
📖 תוכנית פתרון
השאלה מבקשת 'הוכיחו או הפריכו', ולכן קודם כול צריך להכריע. הטענה נכונה, ולכן אין דוגמה נגדית ואין מה לחפש אותה. דרך 1 מסיקה זאת בשורה אחת מהשרשרת העולה. דרך 2 אינה מזכירה את השרשרת כלל ובונה סתירה עם וקטור עד קונקרטי.
דרך 1 — לחיצת השרשרת
שלב 1 — השרשרת. לפי המשפט למעלה, בלי להשתמש בשום נתון:
שלב 2 — הכנסת הנתון. הנתון סוגר את השרשרת למעגל:
שלב 3 — לחיצה. קיבלנו . שתי ההכלות ההופכיות יחד נותנות שוויון.
מסקנה. — הטענה נכונה.
דרך 2 — בשלילה, עם וקטור עד
שלב 1 — ההנחה בשלילה. נניח שהטענה כוזבת, כלומר . כיוון שההכלה מתקיימת תמיד, אי-השוויון פירושו שההכלה ממש, ולכן קיים וקטור
שלב 2 — הפעלת פעם נוספת. מהצבה ישירה:
שלב 3 — הסתירה. לפי הנתון , ולכן , כלומר — בסתירה גמורה ל- שקבענו בשלב 1.
מסקנה. ההנחה בשלילה בלתי אפשרית, ולכן .
הכללה שכדאי להכיר
אותו טיעון בדיוק מוכיח את העיקרון הכללי: אם עבור , אז כל הגרעינים בין ל- שווים להם. בפרט גם הכיוון ההפוך של השאלה — 'אם אז ' — נכון, אך שם צריך צעד נוסף: מ- נובע , ולכן , כלומר .
תשובה
הטענה נכונה
עוד 4 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.