קוד מועד 86. בבחינה חמש שאלות ועליכם לענות על ארבע בלבד; משקל כל שאלה 25 נקודות. פתרון מלא לכל חמש השאלות, ובכל סעיף שתי דרכי פתרון אמיתיות, כולל אימות מספרי של כל תוצאה.
נתונות המטריצות הבאות: , . מצאו עבור אלו ערכי המטריצות ו- שקולות שורה.
📖 תוכנית פתרון
שקילות שורה היא יחס חזק: היא שקולה לשוויון הצורות המדורגות הקנוניות, וגם לשוויון מרחבי השורות, וגם לשוויון מרחבי האפס. לכן העבודה מתפצלת לשניים: תנאי הכרחי שמצמצם את למועמד יחיד, ואחריו אימות מספיקות עבור אותו מועמד. שתי הדרכים למטה נבדלות בתנאי ההכרחי — דרגה מול מרחב אפס.
⚠️ המלכודת המרכזית
דרגה שווה אינה גוררת שקילות שורה. ו- שתיהן מדרגה 1 ואינן שקולות שורה. מי שיעצור אחרי 'הדרגות שוות' יאבד נקודות.
דרך 1 — דרגה ודטרמיננטה, ואז אימות
שלב 1 — סינגולרית לכל . העמודה הראשונה והשלישית של זהות, שתיהן :
מצד שני השורות ו- אינן פרופורציוניות, ולכן ; יחד עם מתקבל לכל.
שלב 2 — דטרמיננטת . פיתוח לפי השורה הראשונה:
שלב 3 — התנאי ההכרחי. מטריצות שקולות שורה הן בעלות אותה דרגה. לכן דרוש , כלומר , כלומר . לכל מתקיים ואין שקילות.
שלב 4 — אימות מספיקות עבור . מדרגים את שתי המטריצות:
שתי הצורות המדורגות הקנוניות זהות, ולכן ו- אכן שקולות שורה כאשר .
מסקנה. אם ורק אם .
דרך 2 — דרך מרחב האפס של המערכת ההומוגנית
שלב 1 — העיקרון. פעולות שורה אלמנטריות אינן משנות את קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית. לכן
שלב 2 — וקטור מפורש ב-. מכיוון ש-:
שלב 3 — הכרחיות. אם אז בהכרח גם . אבל
וזה מתאפס אם ורק אם .
שלב 4 — מספיקות. עבור הדירוג משלב 4 של דרך 1 נותן לשתי המטריצות את אותה צורה מדורגת קנונית , ולכן הן שקולות שורה.
מסקנה. — אותה תשובה, בלי לחשב אף דטרמיננטה.
💡 מה מבדיל בין הדרכים
דרך 1 מזהה את הפרמטר דרך — חישוב אחד, אבל כזה שדורש פיתוח דטרמיננטה. דרך 2 מנצלת את המבנה: 'מודיעה' בעצמה על וקטור במרחב האפס שלה, ומייד בודקים אם מכבדת אותו. דרך 2 גם עמידה יותר: היא עובדת גם למטריצות לא ריבועיות, שבהן אין דטרמיננטה.
תשובה
ב.1
בסיס וממד למרחב (12 נק' לשני סעיפי ב)
יהיו תת-המרחבים הבאים: , . מצאו בסיס וממד למרחב .
שימו לב לשני התיאורים
נתון בתיאור פנימי (פרישה של וקטורים) ו- בתיאור חיצוני (משוואות). ההבדל הזה יהיה לב הפתרון גם בסעיף הבא: שם נהפוך את לתיאור חיצוני, וכאן נהפוך את לתיאור פנימי.
דרך 1 — פתרון ישיר של המערכת ההומוגנית
שלב 1 — בידוד המשתנים התלויים. התנאים הם ו-, כלומר
המשתנים חופשיים.
שלב 2 — הצגה פרמטרית. כל איבר של נראה כך:
שלב 3 — פרישה. מכאן .
שלב 4 — אי-תלות. אם אז הרכיב הראשון נותן והרכיב השני נותן .
מסקנה. בסיס ל-, ולכן .
דרך 2 — משפט הממדים על מטריצת המקדמים
שלב 1 — כמרחב אפס. התנאים הם המערכת עבור
שלב 2 — הדרגה. כבר בצורה מדורגת קנונית עם שני צירים (בעמודות 1 ו-2), ולכן .
שלב 3 — ממד מרחב הפתרונות. מספר המשתנים פחות הדרגה:
שלב 4 — שני וקטורים בלתי תלויים ב-. מקיים ו-; מקיים ו-. שניהם ב- והם בלתי תלויים.
מסקנה. שני וקטורים בת"ל במרחב מממד 2 מהווים בסיס, ולכן זהו בסיס ל- ו-.
💡 מה מבדיל בין הדרכים
דרך 1 בונה את הבסיס ומקבלת את הממד כתוצר לוואי; דרך 2 קובעת את הממד מראש (בלי לפתור כלום) ואז רק צריכה לאתר מספיק וקטורים בת"ל. בשאלות שבהן המערכת מסובכת יותר, ההפרדה הזו חוסכת טעויות.
תשובה
ב.2
הוכחה ש-
בנתונים של הסעיף הקודם, הוכיחו ש-.
📜 העיקרון שחוסך עבודה
כדי להוכיח עבור תת-מרחב , די להראות שכל איבר של שייך ל- — הסגירות של לצירופים לינאריים עושה את השאר. לכן מספיק לבדוק שני וקטורים, לא את כל .
דרך 1 — הצגת בסיס כצירוף של פורשי
שלב 1 — סימונים. נסמן
שלב 2 — פתרון עבור . מחפשים עם . הרכיב הרביעי נותן , כלומר ; הרכיב השלישי נותן ; הרכיב הראשון נותן . בדיקה ברכיב השני: ✓.
שלב 3 — פתרון עבור . הרכיב הרביעי נותן , כלומר ; הרכיב השלישי נותן , כלומר ; הרכיב הראשון נותן . בדיקה ברכיב השני: ✓.
שלב 4 — סגירות. ו- תת-מרחב, ולכן כל צירוף שייך ל-.
מסקנה..
דרך 2 — הפיכת לתיאור חיצוני (משוואה אחת)
שלב 1 — ממד . דירוג המטריצה ששורותיה :
שלושה צירים, ולכן : הוא על-מישור ב-, כלומר קבוצת הפתרונות של משוואה לינארית הומוגנית אחת.
שלב 2 — מציאת המשוואה. מחפשים המתאפסת על שלושת הפורשים:
בבחירת מתקבלת המשוואה .
שלב 3 — אימות.; ; . שלושת הפורשים מקיימים, ולכן ; ומכיוון ששני המרחבים מממד 3, הם שווים:
שלב 4 — ההכלה בשורה אחת. יהי . אז
מסקנה. כל איבר של מקיים את המשוואה המגדירה את , ולכן .
💡 מה מבדיל בין הדרכים
דרך 1 פותרת שתי מערכות ( כל אחת) ומספקת הצגה מפורשת. דרך 2 משקיעה בהמרת למשוואה אחת, ואז ההכלה נופלת בשורה אחת — וזו גם הדרך שמסבירה למה ההכלה נכונה: שתי המשוואות של הן חלוקה של המשוואה של לשני חצאים.
ההכלה ממש חלקית
, ולכן : למשל אינו ב- (כי ).
תשובה
כי ו-
עוד 4 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.