קוד מועד 84. בבחינה חמש שאלות וכל סטודנט עונה על ארבע בלבד; משקל כל שאלה 25 נקודות. פתרון מלא לכל חמש השאלות, ובכל סעיף שתי דרכי פתרון אמיתיות, תשובה ממוסגרת ומלכודות הבדיקה.
תהיינה מטריצות ריבועיות מאותו הסדר מעל השדה . נתון שהמטריצה מתקבלת מהמטריצה על ידי הפעולות האלמנטריות הבאות: . הוכיחו שאם מתקיים אז לפחות אחת מהמטריצות, או , לא הפיכה.
📖 תוכנית פתרון
המידע היחיד שנחוץ משרשרת הפעולות הוא כמה השתנתה הדטרמיננטה. שלוש הפעולות מכפילות אותה בפקטור קבוע, ומכאן שני מסלולים: דרך 1 לוקחת דטרמיננטה בשני אגפי ומקבלת סתירה מספרית. דרך 2 מזהה שאם הפיכה אז דומה ל-, ומטריצות דומות אינן יכולות להיבדל בפקטור 2 בדטרמיננטה.
📜 השפעת שלוש הפעולות האלמנטריות על הדטרמיננטה
החלפת שתי שורות (): מכפילה את הדטרמיננטה ב-.
כפל שורה בסקלר (): מכפילה אותה ב-.
הוספת כפולה של שורה לשורה אחרת (, ): אינה משנה אותה.
דרך 1 — לוקחים דטרמיננטה בשני האגפים
שלב 1 — עוקבים אחרי הדטרמיננטה לאורך השרשרת. לפי הטבלה שלמעלה:
כלומר
שלב 2 — הנחה בשלילה. נניח שגם וגם הפיכות, כלומר ו-.
שלב 3 — מ- הפיכה נובע ש- הפיכה. מ- נובע מיד .
שלב 4 — מפעילים דטרמיננטה על השוויון הנתון. הדטרמיננטה כפלית, ולכן
שלב 5 — מצמצמים. מ- נובע .
מסקנה. אבל בשלבים 2–3 קיבלנו ו-, ולכן — סתירה. לכן ההנחה נפלה: לפחות אחת מ-, אינה הפיכה.
דרך 2 — דרך מטריצות אלמנטריות ודמיון
שלב 1 — כותבים את כמכפלה. כל פעולה אלמנטרית על שורות שקולה לכפל משמאל במטריצה אלמנטרית הפיכה. נסמן ב- את המטריצות המתאימות לשלוש הפעולות בסדר ביצוען:
שלב 2 — מחשבים את . דטרמיננטת מטריצה אלמנטרית היא בדיוק הפקטור שהפעולה מכניסה:
בפרט הפיכה.
שלב 3 — הנחה בשלילה. נניח ש- ו- הפיכות. מ- ומהפיכות ו- נובע ש- הפיכה גם היא.
שלב 4 — דומה ל-. הפיכה, ולכן אפשר לכפול את משמאל ב-:
כלומר .
שלב 5 — סתירה. מטריצות דומות בעלות אותה דטרמיננטה, ולכן , כלומר — בסתירה לכך ש- הפיכה (שלב 3).
מסקנה. לפחות אחת מ-, אינה הפיכה.
💡 מה מבדיל בין הדרכים
דרך 1 היא חשבון בסקלרים בלבד ולכן קצרה יותר; דרך 2 מסבירה למה — כי עם הפיכה אומר ש- ו- דומות, ופעולות השורה הכניסו פקטור שדמיון אינו מרשה. שתיהן מקבלות ניקוד מלא.
תשובה
ב
בסיס למרחב (13 נק')
יהיו ו- תת-מרחבים לינאריים של כך ש-. תהי הקבוצה הבאה: . נתון ש-, ו-. מצאו בסיס למרחב .
📖 תוכנית פתרון
השאלה משלבת שני סוגי מידע. מידע 'לוגי': מי מבין חייב לשכון ב-, מתוך ושלילות ההשתייכות. מידע 'ממדי': שלושת השוויונות בין הסכומים הישרים כופים , ומכיוון שהמרחב המשותף מוכל ב- מתקבל חסם עליון. שני החסמים נפגשים בדיוק ב-2.
📜 שני הכלים
ממד סכום ישר: אם הסכום ישר אז .
בסיס בממד הנכון: קבוצה בת"ל בת איברים בתוך מרחב שממדו היא בסיס שלו.
דרך 1 — קודם מי חייב להיות ב-, אחר כך חסם ממדים
שלב 1 — ו- נמצאים ב-. נתון , ולכן . אבל נתון גם ו-, ולכן בהכרח
אותו נימוק בדיוק עבור : הוא אינו ב- ואינו ב-, ולכן
שלב 2 — חסם תחתון על הממד. ו- בלתי תלויים לינארית: מ- נובע מהרכיב השני ומהרכיב הרביעי . שניהם ב-, ולכן
שלב 3 — שלושת הממדים שווים. מהשוויון נובע שוויון הממדים של אותו מרחב:
ומהשוויון באותו אופן . נסמן .
שלב 4 — חסם עליון על הממד. הסכום הוא תת-מרחב של , ולכן
שלב 5 — סוגרים. משלב 2 ומשלב 4 , ולכן .
מסקנה., שני הוקטורים בת"ל, ו- — ולכן ההכלה היא שוויון והקבוצה היא בסיס:
דרך 2 — קודם קובעים את , אחר כך ממלאים את הבסיס
שלב 1 — נותנים שם למרחב המשותף. נסמן
כמו בדרך 1, שלושת השוויונות נותנים ו-.
שלב 2 — הערכים האפשריים של . מ- נובע , כלומר .
שלב 3 — פסילת ו-. מהנתון יחד עם , נובע , ובאותו אופן . הקבוצה בת"ל, ולכן — מה שפוסל את ואת .
שלב 4 — מסקנת הממד. נותר , ואגב כך , כלומר : שלושת הסכומים הישרים הם כל המרחב.
שלב 5 — הבסיס. קבוצה בת"ל בת שני איברים בתוך מרחב ממד 2, ולכן היא בסיס — אין מקום להוסיף לה וקטור נוסף.
מסקנה.
הערה — הנתונים אינם ריקים
כדאי לוודא שקיימת בכלל תצורה המקיימת את כל ההנחות. הבחירה , , מקיימת אותן במלואן: שלושת הסכומים יוצאים וישרים, , , וכל אברי מכוסים ( ו-).
תשובה
עוד 4 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.