קוד מועד 59. בבחינה חמש שאלות ויש לענות על ארבע מהן בלבד; משקל כל שאלה 25 נקודות, משך הבחינה 3 שעות. פתרון מלא לכל חמש השאלות ולכל ארבעה-עשר תת-הסעיפים, ובכל תת-סעיף שתי דרכי פתרון אמיתיות ותשובה ממוסגרת.
דטרמיננטה ודרגה כפונקציה של פרמטר, וגרעיני חזקות של העתקה
א.1
הבעת בעזרת (15 נק' לשני סעיפי א)
תהי המטריצה הבאה: , כאשר . הביעו בעזרת את .
📖 תוכנית פתרון
המטריצה נראית מפחידה, אבל היא בנויה מגורמים חוזרים: , והעמודה השנייה כולה חזקות של . דרך 1 פשוט מציבה ומפתחת לפי השורה הראשונה — הכול מתקצר יפה. דרך 2 מוציאה גורם משותף מכל אחת משתי העמודות האחרונות, ואז שתי פעולות שורה משאירות דטרמיננטה כמעט משולשת. בשתיהן הפירוק לגורמים של התוצאה הוא מה שיידרש בסעיף הבא.
על זהות השאלון
הכותרת התחתונה של עמודי השאלון היא "20109 - 59 / מועד ב – 2024א", ולפיה נקבע כאן המועד. עמוד השער של אותו שאלון סרוק מציין "מס' שאלון - 389" ו-"מס' מועד 59" — כלומר לפי השער 389 הוא מספר השאלון. השם "שאלון 59" נשמר כאן משום שזהו המזהה המופיע בכותרת התחתונה ובשמות הקבצים באוסף.
דרך 1 — הצבת ופיתוח לפי השורה הראשונה
שלב 1 — סימון מקצר. נסמן . אז , והמטריצה נכתבת
שלב 2 — פיתוח לפלס לפי השורה הראשונה.
שלב 3 — מפשטים כל מינור בנפרד. בכל אחד מהם מוציאים גורם משותף ומשתמשים ב-:
שלב 4 — הרכבה.
שלב 5 — חוזרים ל-. מ- נובע ו-, ולכן
מסקנה..
דרך 2 — הוצאת גורם משותף מעמודות ואז פעולות שורה
שלב 1 — מזהים גורם משותף בכל אחת משתי העמודות האחרונות.
הוצאת סקלר מעמודה מכפילה את הדטרמיננטה באותו סקלר, ולכן
שלב 2 — עכשיו גם השורה השנייה משותפת., ולכן
שלב 3 — שתי פעולות שורה. ו- אינן משנות דטרמיננטה:
שלב 4 — פיתוח לפי העמודה הראשונה. רק לאיבר במקום יש ערך שונה מאפס, וסימן המקדם שלו הוא :
שלב 5 — מפרקים לגורמים., ולכן
מסקנה. אותה תוצאה כמו בדרך 1: .
💡 בדיקת שפיות מספרית
מציבים : ופיתוח ישיר נותן . הנוסחה: . תואם.
תשובה
א.2
הדרגה של עבור כל ערך של
עבור המטריצה , , קבעו עבור כל ערך של את הדרגה של המטריצה .
📜 המשפט שמחלק את העבודה לשניים
עבור מטריצה ריבועית מסדר : . לכן מסעיף א.1 מקבלים מיד את התשובה לכל שאינו שורש של , ונשארים רק שלושה מקרים בודדים — , , — שבהם צריך לחשב את הדרגה בנפרד.
דרך 1 — הצבה ודירוג בכל אחד משלושת המקרים החריגים
שלב 1 — המקרה הכללי. מתאפס בדיוק כאשר . לכן לכל מתקיים ולכן .
שלב 2 — המקרה . מציבים: , , , :
שורה אחת שונה מאפס, ולכן .
שלב 3 — המקרה . מציבים: , , , , :
ולכן .
שלב 4 — המקרה . מציבים: , , , , :
שתי שורות שונות מאפס ובלתי תלויות, ולכן .
מסקנה. לכל ; עבור ; עבור ועבור .
דרך 2 — קריאת המבנה של העמודות
שלב 1 — הפירוק שכבר יש לנו. מדרך 2 של סעיף א.1, עם :
שלב 2 — (כלומר ). אז , ואילו . נשארה עמודה אחת שונה מאפס עד כדי כפילות:
שלב 3 — (כלומר ). אז , ו-:
שלב 4 — (כלומר ). אז , ו-. הווקטורים ו- אינם כפולות זה של זה, ולכן
שלב 5 — כל שאר הערכים. ולכן שלוש העמודות בלתי תלויות ו-.
מסקנה. אותה תשובה כמו בדרך 1.
⚠️ הטעות הנפוצה כאן
מתאפס גם ב- וגם ב- — ובשני המקרים הדרגה אינה אלא . אי אפשר להסיק "הדטרמיננטה מתאפסת, אז הדרגה היא ": התאפסות הדטרמיננטה אומרת רק . בכל שורש חייבים לחשב את הדרגה בפועל.
תשובה
או
ב
הטענה (10 נק')
תהי העתקה לינארית מעל . הוכיחו או הפריכו את הטענה הבאה: אם מתקיים אז .
📜 העובדה היחידה שצריך
שרשרת הגרעינים. לכל מתקיים . הנימוק בשורה: אם אז . שימו לב שההכלה הזו נכונה תמיד, ללא שום הנחה על או על .
📖 תוכנית פתרון
הטענה נכונה.דרך 1 משתמשת בשרשרת ההכלות ו"סוגרת אותה" בין שני קצוות שווים. דרך 2 מוכיחה הכלה דו-כיוונית ישירות, בלי להזכיר שרשרת בכלל. שימו לב שאין כאן שום הנחה על ממד סופי — הטענה נכונה גם ב- אינסוף-ממדי.
דרך 1 — לחיצת השרשרת בין שני קצוות שווים
שלב 1 — כותבים את השרשרת. לפי העובדה שלמעלה, פעמיים:
שלב 2 — מפעילים את הנתון. נתון ש-, ולכן השרשרת מתחילה ומסתיימת באותה קבוצה:
שלב 3 — מסקנת הלחיצה. אם אז . כאן זה נותן ישירות .
מסקנה. הטענה נכונה.
דרך 2 — הכלה דו-כיוונית ישירה
שלב 1 — ההכלה הקלה . יהי , כלומר . אז
שלב 2 — ההכלה השנייה . יהי , כלומר . אז
שלב 3 — כאן נכנס הנתון. לפי ההנחה , ולכן . זה בדיוק .
מסקנה. משתי ההכלות — הטענה נכונה.
בונוס — הכיוון ההפוך גם הוא נכון
אם נתון אז גם : יהי ; אז , כלומר , ולכן , כלומר . זהו המקרה הפרטי הראשון של משפט ה"ייצוב": ברגע ששני איברים עוקבים בשרשרת הגרעינים שווים, כל השרשרת מכאן והלאה קבועה.
תשובה
הטענה נכונה:
עוד 4 שאלות במבחן הזה
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.