מתלכדות בקטע פרט למספר סופי של נקודות, ל- קדומה — האם ל- בהכרח קדומה?
תשובה: לא. נראה שתנאי זה לא מספיק על-ידי דוגמה נגדית.
📜 משפט מפתח — דרבו (Darboux)
כל פונקציה שהיא נגזרת של פונקציה כלשהי (כלומר, יש לה פונקציה קדומה) מקיימת את תכונת ערך הביניים: לכל ולכל ערך בין ל-, קיים עם . (זה תקף אפילו אם אינה רציפה!)
דוגמה נגדית:
קח ב-. ל- קדומה: . ✓
הגדר :
ו- מתלכדות בכל הקטע פרט לנקודה אחת ().
למה ל- אין קדומה?
דרך 1 — ישירה דרך משפט דרבו
מקבלת רק את הערכים ו-. אין אף שבו . אבל:
לפי משפט דארבו (משפט 1.41), כל נגזרת מקיימת את תכונת ערך הביניים: צריך להיות עם . אבל אין כזה . ❌
לכן לא יכולה להיות נגזרת — אין לה קדומה.
דרך 2 — בשלילה
נניח שיש ל- קדומה ב-. נסתכל על (כי ).
לכל .
קבועה ב- וב-. מאחר ש- רציפה (כי גזירה), קבועה ב- כולה.
אבל אז , ומצד שני . סתירה! ❌
ב
— מצא וקטורי יחידה עם
שלב 1 — חישוב הגרדיאנט
נגזרת חלקית לפי : (קבוע )
נגזרת חלקית לפי :
שלב 2 — הצבה בנקודה
שלב 3 — מציאת וקטורים שמאפסים
לפי משפט 7.65 (נגזרות חלקיות רציפות גוררות דיפרנציאביליות), דיפרנציאבילית (שתי הנגזרות החלקיות רציפות סביב כי המכנה ). לכן לפי משפט 7.62 (דיפרנציאביליות) הנגזרת הכיוונית נתונה על-ידי הגרדיאנט:
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.