נשתמש במבחן השורש לפי משפט קושי-הדמר (משפט 6.10):
נחשב בעזרת הנתון:
מאחר ש-, מתקיים (כי עבור ).
שלב 2 — בדיקת הקצוות :
בקצוות, . האיבר הכללי אינו שואף לאפס, ולכן לפי התנאי ההכרחי להתכנסות (משפט 5.5) הטור מתבדר ב-.
⚠️ דברים שהבודק יחפש
• חישוב מדויק של רדיוס: דרך מבחן השורש או ד'אלמבר.
• בדיקת קצוות בנפרד: חובה — הטור עלול להתכנס/להתבדר בקצה.
• שימוש בתנאי ההכרחי לאי-התכנסות: אם , הטור מתבדר.
תשובה
תחום ההתכנסות: (פתוח, ללא הקצוות)
ב
סווגו
פיצול: ו-.
חלק B — מתכנס בהחלט:
שימוש ב-:
מתכנס (-טור עם ), ולפי מבחן ההשוואה הראשון (משפט 5.14) ⟹ מתכנס בהחלט. ✓
חלק A — מתכנס בתנאי:
התכנסות (דיריכלה):
— חסום. ✓
, מונוטונית יורדת ל-0 (כי ו- עולה ב-). ✓
לכן מתכנס לפי מבחן דיריכלה לטורים (משפט 5.22).
אי-התכנסות בהחלט: נשתמש ב-:
— מתבדר (מבחן ההשוואה השני / הגבולי, משפט 5.15, עם הטור ההרמוני).
השאלה שלמעלה פתוחה במלואה, בחינם. כל שאר השאלות פתורות באותה צורה — שלב אחר שלב, בשתי דרכי פתרון בכל מקום שאפשר, עם פירוט הטעויות שהבודקים רואים הכי הרבה.